14 alfiles no atacantes
Podemos considerar los alfiles de casillas blancas y los alfiles de casillas negras por separado.
Como máximo 7 alfiles pueden colocarse en casillas blancas, es decir, como máximo un alfil en cada una de las 7 diagonales blancas paralelas a la diagonal h1-a8. De hecho, podemos poner alfiles en las 7 casillas blancas b1, d1, f1, h1, c8, e8, g8.
La solución para alfiles de casillas negras es solo la imagen especular de la solución para blancas -Obispos cuadrados. Como máximo, se puede colocar un alfil en cada una de las 7 diagonales negras paralelas a la diagonal a1-h8, y esto se puede lograr con alfiles en a1, c1, e1, g1, b8, d8, f8.
32 caballos no atacantes
Podemos poner 32 caballos en el tablero colocando caballos en todos los cuadrados blancos o en todos los cuadrados negros.
Una forma de ver que no podemos tener más de 32 caballeros es considerar una gira de caballeros. Si numeramos los cuadrados del 1 al 64 en el orden en que los visita el caballero de gira, entonces está claro que nuestros caballeros no atacantes pueden ocupar como máximo uno de los dos cuadrados 1 & 2, como máximo uno de los cuadrados 3 & 4 , a lo sumo una de las casillas 5 & 6, y así sucesivamente.
Pero el recorrido de un caballo es algo difícil y no es realmente necesario para este problema. Todo lo que realmente necesitamos es dividir los 64 cuadrados del tablero de ajedrez en 32 pares, cada par está separado por el movimiento de un caballo. Dado que el tablero de 8 x 8 se puede cortar en ocho tableros de 2 x 4, será suficiente observar que el tablero de 2 x 4 admite tal emparejamiento (y por lo tanto puede contener como máximo 4 caballos no atacantes), es decir, a1 & c2, a2 & c1, b1 & d2, b2 & d1.
Caballeros no atacantes en tableros de ajedrez variantes
Se puede demostrar que, siempre que m, n > 2, el número máximo posible de caballos en un tablero de ajedrez mxn es techo (mn / 2), es decir, es mn / 2 si mn es par, (mn + 1 ) / 2 si mn es impar. Obviamente, este número puede obtenerse colocando todos los caballeros en casillas de un color. Demostrar que es óptimo es más trabajo.
Digamos que un tablero de ajedrez mxn tiene un "buen emparejamiento" si el conjunto de cuadrados se puede dividir en pares (con un cuadrado sobrante si mn es impar), cada uno par está conectado por un movimiento de caballero. La existencia de un buen emparejamiento se deriva de la existencia de un tour de caballeros, pero los buenos emparejamientos son más fáciles de encontrar que los tours de caballeros. Bastará con mostrar que existe un buen emparejamiento siempre que m, n > 2. De hecho, será suficiente mostrar que existe un buen emparejamiento para 2 x 4, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6 , 5 x 5 y 5 x 6 tableros de ajedrez, ya que cada tablero mxn con min (m, n) > 2 se puede dividir en piezas rectangulares de esos siete tamaños, sin utilizar más de una pieza con un número impar de cuadrados. La construcción de buenos emparejamientos para esas siete pequeñas tablas se deja en manos del lector. (Las tablas de 3 x 4, 5 x 5 y 5 x 6 permiten recorridos de caballeros).